9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 119-120 Cevapları Meb Yayınları

3. Sıra Sizde

Bir spor salonunda üyelere sunulan kullanım seçenekleri tabloda verilmiştir. Havuz kullanımının sabit ücreti 400 Türk lirasıdır ve havuz kullanımının yanı sıra alınmak istenen egzersiz dersleri ayrıca ücretlendirilmektedir.
Farklı seçenekler için ders saatine (x) bağlı ödenecek toplam ücretin (TL) değişimi tabloda verilen doğrusal fonksiyon modellerinin cebirsel temsili ile ifade edilmiştir.

Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Soru a) Spor salonunda üyelere sunulan kullanım seçeneklerini inceleyiniz. Spor salonunun kullanım seçeneklerine ait değişkenleri ve bu değişkenlerin arasındaki ilişkileri tespit ediniz.

Cevap: Spor salonunda üç farklı kullanım seçeneği sunulmaktadır:

Egzersiz Dersi (f(x)):

• Sabit bir ücret alınmamaktadır.
• Her ders saati başına 300 TL ücret ödenir.
• Toplam ücret fonksiyonu: f(x)=300xf(x) = 300xf(x)=300x, burada xxx, alınan ders saatini temsil eder.

Havuz ve Egzersiz Dersi (g(x)):

• Sabit ücret: 400 TL.
• Egzersiz dersleri için ders saati başına 300 TL ek ücret alınır.
• Toplam ücret fonksiyonu: g(x)=300x+400g(x) = 300x + 400g(x)=300x+400.

Yıllık Tam Üyelik (h(x)):

• Sabit ücret: 10.000 TL.
• Ders saati sayısı ücreti etkilemez.
• Toplam ücret fonksiyonu: h(x)=10.000h(x) = 10.000h(x)=10.000.

Bu seçenekler arasındaki temel fark, sabit ücretin varlığı ve ücretin ders saatiyle nasıl değiştiğidir. Egzersiz derslerinde ücret tamamen ders saatiyle orantılıdır, ancak havuz kullanımında sabit bir ücret bulunmaktadır. Yıllık tam üyelik ise sabit bir ücretle sınırlıdır.

Soru b) f, g ve h fonksiyonlarının grafiklerini aynı dik koordinat sisteminde çiziniz.

f(x):

• Bu fonksiyon eğimi 300 olan doğrusal bir grafiktir.
• y=300xy = 300xy=300x şeklinde ifade edilir ve orijinden (0,00, 00,0) başlar.

g(x):

• Eğimi 300 olan doğrusal bir fonksiyondur, ancak başlangıçta sabit 400 TL bulunmaktadır.
• Grafiği y=300x+400y = 300x + 400y=300x+400 doğrusu olarak çizilir ve (0,400)(0, 400)(0,400) noktasından başlar.

h(x):

• Bu fonksiyon sabit bir ücret gösterir ve grafiği yatay bir doğrudur.
• y=10.000y = 10.000y=10.000 doğrusu olarak çizilir.

Bu grafikler aynı koordinat sistemine çizildiğinde, f(x) ve g(x) doğrusal bir artış gösterirken, h(x) sabit bir ücretle düz bir çizgi oluşturur.

Soru c) f, g ve h fonksiyonlarının grafiklerinin y eksenini kestiği noktaları ve varsa sıfırlarını bulunuz. Bu noktaların spor salonunun kullanım seçeneklerine bağlı olarak ücretlendirilmesi ile ilgili neyi ifade ettiğini yorumlayınız.

Yorum:

• f(x): Ders saati başına ücret artışı gösterir. 0 ders saati için toplam ücret sıfırdır.
• g(x): Sabit başlangıç ücreti olan 400 TL, havuz kullanımına karşılık gelir ve ders saatine eklenir.
• h(x): Sabit bir ücret olan 10.000 TL, tamamen yıllık tam üyeliği temsil eder ve ders saatiyle bağlantısı yoktur.

Soru ç) f, g ve h fonksiyonlarının grafiklerinin y eksenini kestiği noktaları ve varsa sıfırını bulunuz. Bu noktaların spor salonunun kullanım seçeneklerine bağlı olarak ücretlendirilmesi ile ilgili neyi ifade ettiğini yorumlayınız.

f(x):

• Y ekseni kestiği nokta: (0,0)
  Egzersiz dersi seçeneğinde, sıfır ders saati alındığında toplam ücret 0 TL'dir. Bu, yalnızca alınan ders saatine göre ücretlendirme yapıldığını gösterir.
• Sıfır noktası: x=0
  Ders saati sıfır olduğunda toplam ücret de sıfırdır. Bu, egzersiz dersinin saat başı ücrete tamamen bağımlı olduğunu ifade eder.

g(x):

• Y ekseni kestiği nokta: (0,400)
  Havuz ve egzersiz dersi seçeneğinde, sabit bir ücret olarak 400 TL alınmaktadır. Bu, ders saati alınmasa bile havuz kullanımından dolayı başlangıç ücreti ödendiğini ifade eder.
• Sıfır noktası: Yok.
  Sabit 400 TL'lik başlangıç ücreti nedeniyle toplam ücret hiçbir zaman sıfır olamaz.

h(x):

• Y ekseni kestiği nokta: (0,10.000)
  Yıllık tam üyelik seçeneğinde toplam ücret sabittir ve her durumda 10.000 TL'dir. Bu, yıllık ödemenin ders saatinden bağımsız bir sabit bedel olduğunu gösterir.
• Sıfır noktası: Yok.
  Sabit 10.000 TL ücret nedeniyle toplam ücret sıfıra ulaşamaz.

Yorum:

• f(x): Egzersiz dersi seçeneğinde, ücret tamamen ders saatine bağlıdır. Sıfır ders saatinde ücret sıfır olur.
• g(x): Havuz kullanımını içeren bu seçenek, sabit bir başlangıç ücreti içerir. Ders saati sıfır olsa bile toplam ücret 400 TL’den başlar.
• h(x): Yıllık tam üyelik seçeneği, ders saati sayısı ne olursa olsun sabit bir ücrete sahiptir. Bu, yıllık ücretlendirmenin ders saatinden bağımsız olduğunu ifade eder.

Soru d) f, g ve h fonksiyonlarının bire birliği, artanlığı veya azalanlığı ile ilgili ne söylenebilir? Ulaştığınız sonuca hangi kanıtlara dayanarak vardığınızı açıklayınız.

f(x):

• Artan bir fonksiyondur (m=300>0).
• Bire birdir, çünkü her farklı ders saati için farklı bir toplam ücret hesaplanır.

g(x):

• Artan bir fonksiyondur (m=300>0).
• Sabit 400 TL'lik başlangıç ücretine rağmen bire birdir. Her farklı ders saati için farklı bir toplam ücret hesaplanır.

h(x):

• Sabit bir fonksiyondur (m=0).
• Bire bir değildir, çünkü ders saati değişse bile ücret değişmez. Ayrıca, ne artan ne azalan bir fonksiyondur.

Yorum: f(x) ve g(x), artan ve bire bir fonksiyonlardır. Ders saati arttıkça toplam ücrette doğrusal bir artış görülür. h(x) ise sabit bir fonksiyon olduğundan, bire bir değildir ve artan veya azalan özelliğe sahip değildir.

Soru e)

f, g ve h fonksiyonlarının tanım ve değer aralıklarını bulunuz. Bulduğunuz aralıkları hangi kanıtlara dayanarak oluşturduğunuzu açıklayınız.

Cevap:

f(x) (Egzersiz Dersi):

• Tanım aralığı: x≥0x \geq 0x≥0
  Ders saati negatif olamayacağı için tanım aralığı sıfır ve daha büyük sayıları kapsar.
• Değer aralığı: f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0
  Ders saatine bağlı ücret sıfır veya daha büyük bir değer alır. Örneğin, 0 ders saati için toplam ücret 0TL0 TL0TL, 1 ders saati için 300TL300 TL300TL olur.

g(x) (Havuz ve Egzersiz Dersi):

• Tanım aralığı: x≥0x \geq 0x≥0
  Ders saati negatif olamayacağı için tanım aralığı sıfır ve üzeridir.
• Değer aralığı: g(x)≥400g(x) \geq 400g(x)≥400
  Havuz kullanımından dolayı sabit 400 TL başlangıç ücreti alınır. Ders saati arttıkça toplam ücret 400 TL’den daha büyük değerlere ulaşır.

h(x) (Yıllık Tam Üyelik):

• Tanım aralığı: x≥0x \geq 0x≥0
  Yıllık tam üyelik, ders saatinden bağımsız olduğu için herhangi bir pozitif veya sıfır ders saati için tanımlıdır.
• Değer aralığı: h(x)=10.000h(x) = 10.000h(x)=10.000
  Sabit yıllık ücret 10.000 TL olduğundan değer aralığı yalnızca bu değerden oluşur.

Kanıt:
Tanım ve değer aralıkları, ders saati sayısının yalnızca sıfır veya pozitif olabileceği ve ücretin negatif olamayacağı gibi gerçek hayata uygun sınırlar göz önüne alınarak belirlenmiştir.

Soru f) Hangi kullanım seçeneğini tercih etmenin hangi durumlarda avantajlı olacağını nedenleri ile birlikte açıklayınız.

Egzersiz Dersi (f(x)):

Avantajlı olduğu durumlar: Yalnızca birkaç saatlik egzersiz dersine ihtiyaç duyulan durumlarda (örneğin 1-5 ders saati).

Neden: Sabit bir ücret bulunmamakta ve yalnızca alınan ders saati kadar ödeme yapılmaktadır. Bu, az ders saati için ekonomik bir seçimdir.

Havuz ve Egzersiz Dersi (g(x)):

• Avantajlı olduğu durumlar:
  Düzenli havuz kullanımı ve egzersiz dersleri almayı planlayanlar için daha uygundur. Özellikle yüksek ders saati kullanımı planlanıyorsa avantajlıdır.
• Neden:
  Sabit 400 TL’lik başlangıç ücreti, havuz kullanımı için makul bir maliyet sunar ve ders saati sayısı arttıkça toplam maliyet nispeten dengeli kalır.

Yıllık Tam Üyelik (h(x)):

• Avantajlı olduğu durumlar:
  Yıl boyunca düzenli olarak havuz ve egzersiz dersleri almayı planlayanlar için daha uygundur. Özellikle yıllık toplam ders saati sayısı yüksekse (örneğin 30 saat veya üzeri) bu seçenek ekonomiktir.
• Neden:
  Sabit yıllık ücret (10.000 TL) sınırsız ders ve havuz kullanımı sunar. Ders saati arttıkça birim maliyet düşer ve yoğun kullanım için avantajlı hale gelir.

Sonuç:

1. Az ders saati: f(x) ekonomik bir seçimdir.
2. Düzenli ders ve havuz kullanımı: g(x) uygundur.
3. Yoğun kullanım ve uzun vadeli plan: h(x) en avantajlı seçenektir.