9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 121-122 Cevapları Meb Yayınları
7. Uygulama Sorular ve Çözümler
Fonksiyonların Parçalı Gösterimi
Verilen bilgileri inceleyerek soruları cevaplayınız.
Aşağıda bir miktar buzun ısıtılarak buhar hâline getirilmesine ait, zamana (dk.) bağlı sıcaklığı ( oC ) ifade eden f fonksiyonunun elektronik tablo yardımıyla elde edilen grafik temsili verilmiştir.
1. Soru f fonksiyonunun tablo ve grafik temsilinden yararlanarak cebirsel gösterimini nasıl elde edebilirsiniz? f fonksiyonu tek bir cebirsel temsille ifade edilebilir mi?
Cevap:
f fonksiyonu, suyun hâl değişimlerine göre farklı sıcaklık değişim oranlarına sahiptir. Bu nedenle, fonksiyon tek bir cebirsel temsille ifade edilemez. Grafik ve tablodan görüldüğü üzere fonksiyon, zaman aralıklarına bağlı olarak farklı doğrusal parçalarla tanımlanmıştır. Her bir zaman aralığı için ayrı bir fonksiyon ifadesi yazılabilir.
2. Soru f fonksiyonunun tablo temsili yardımıyla suyun her bir hâl değişim evresinde dakika başına sıcaklıktaki değişim miktarlarını hesaplayınız. Grafik temsilinden yararlanarak zaman ve sıcaklık aralıklarını elde ediniz ve tabloyu doldurunuz.
| Suyun Hali | Dakika Başına Sıcaklıktaki Değişim Miktarı (°C) | Zaman (dk.) Aralığı | Sıcaklık (°C) Aralığı | Suyun Hâl Değişimini Temsil Eden Fonksiyonun Cebirsel Temsili |
|---|---|---|---|---|
| Buz | 4 | [0, 5) | [-20, 0) | f(t) = 4(t - 5) |
| Buz ve Su | 0 | [5, 20) | [0, 0] | f(t) = 0 |
| Su | 5 | [20, 40) | [0, 100) | f(t) = 5(t - 20) |
| Su ve Buhar | 0 | [40, 60) | [100, 100] | f(t) = 100 |
| Buhar | 1 | [60, 80) | [100, 120) | f(t) = 1(t - 60) + 100 = t + 40 |
3. Soru Elde ettiğiniz fonksiyonlar yardımıyla f fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini bularak cebirsel temsillerle ifade ediniz. Oluşturduğunuz temsilleri f fonksiyonunun grafik temsili üzerinde gösteriniz.
Cevap:
- Tanım Kümesi: t ∈ [0, 80)
- Görüntü Kümesi: f(t) ∈ [-20, 120]
Cebirsel Temsiller:
f(t) =
- 4(t - 5), 0 ≤ t < 5
- 0, 5 ≤ t < 20
- 5(t - 20), 20 ≤ t < 40
- 100, 40 ≤ t < 60
- 1(t - 60) + 100, 60 ≤ t < 80
Bu fonksiyonlar, zaman aralıklarına göre suyun hâl değişim süreçlerini ve sıcaklık değişimlerini temsil etmektedir.
4. Parçalı gösterimli fonksiyonların cebirsel temsillerine dair genellemeler oluşturunuz.
Cevap: Parçalı gösterimli fonksiyonlar, tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı matematiksel ifadelerle tanımlanır. Her bir parçanın belirli bir başlangıç ve bitiş aralığı vardır. Genel bir genelleme şu şekilde yapılabilir:
f(t) =
- f₁(t), t₁ ≤ t < t₂
- f₂(t), t₂ ≤ t < t₃
- ...
- fn(t), tn-1 ≤ t < tn
Burada her bir fn(t)f_n(t)fn(t), fonksiyonun farklı bir aralığını temsil eder ve tanım kümesine göre uygun doğrusal veya doğrusal olmayan bir ifade alabilir.
5. Varsayımlarınızla genellemelerinizi karşılaştırarak parçalı gösterimli fonksiyonlar ile ilgili önermeler oluşturunuz.
Cevap:
- Parçalı fonksiyonlar, gerçek hayatta farklı koşulları modellemek için kullanılır (örneğin, suyun hâl değişimlerinde sıcaklık değişimi).
- Her parça, belirli bir durumu veya süreç aralığını temsil eder ve her parçanın eğimi (değişim oranı) farklı olabilir.
- Parçalı fonksiyonların sürekli veya kesikli olması modelin ihtiyaçlarına bağlıdır. Süreklilik varsa iki parçanın birleştiği noktada değerler eşit olmalıdır.
6. Oluşturduğunuz önermelerin hangi problem durumlarında ve nasıl kullanılabileceğini açıklayınız.
Cevap: Parçalı fonksiyonlar, fizik, kimya ve mühendislik gibi alanlarda süreçleri modellemek için kullanılır.
Örneğin:
- Bir maddenin hâl değişimi sırasında sıcaklık değişimini modellemek.
- Farklı hızlarla ilerleyen araçların hareketini analiz etmek.
- Ayrıca ekonomik analizlerde farklı dönemlerdeki gelir-gider ilişkilerini modellemek için kullanılabilir.
- Problemin çözümünde parçalı fonksiyonlar sayesinde her bir süreç veya durum için ayrı analiz yapılabilir, bu da daha hassas bir çözüm sağlar.
Türkçe karakter kullanılmayan ve büyük harflerle yazılmış yorumlar onaylanmamaktadır.