9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 135-136-137-138 Cevapları Meb Yayınları
9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 135 Cevapları MEB Yayınları
11. Uygulama
Gerçek Sayılarda f(x) = ±|ax + b| ± c (a ≠ 0) Şeklinde Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonlarının Nitel Özellikleri
Verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1- a, b, c ∈ ℝ⁺ olmak üzere gerçek sayılarda f(x) = ax + b, g(x) = |ax + b| + c ve h(x) = |ax + b| − c şeklinde tanımlı fonksiyonların grafik temsilleri verilmiştir (Grafik 1, Grafik 2 ve Grafik 3).
9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 136 Cevapları MEB Yayınları
a- f, g ve h fonksiyonlarının cebirsel ve grafik gösterimlerini inceleyiniz. f ile g, f ile h fonksiyonları arasındaki benzerlikleri veya farklılıkları açıklayınız.
f ile g arasındaki ilişki:
Cebirsel olarak, f(x) fonksiyonunun mutlak değerine ccc eklenerek g(x) fonksiyonu elde edilir. Grafiksel olarak, f(x) fonksiyonunun x ekseninin altındaki kısmı y eksenine göre simetrik olarak yukarı taşınır ve ardından grafik y ekseni boyunca ccc birim yukarı ötelenir.
f ile h arasındaki ilişki:
Cebirsel olarak, f(x) fonksiyonunun mutlak değerine ccc çıkarılarak h(x) fonksiyonu elde edilir. Grafiksel olarak, f(x) fonksiyonunun x ekseninin altındaki kısmı y eksenine göre simetrik olarak yukarı taşınır ve ardından grafik y ekseni boyunca ccc birim aşağı ötelenir.
Genel benzerlikler:
Her iki durumda da f(x)'in negatif bölgeleri mutlak değer alınarak pozitif hale getirilir. Grafikler, f(x) fonksiyonunun mutlak değerli haline dayanılarak oluşturulmuştur.
Genel farklılıklar:
g(x) fonksiyonu y ekseni boyunca yukarı ötelenirken, h(x) fonksiyonu y ekseni boyunca aşağı ötelenir.
b) Gözlemlerinizden yola çıkarak f , g ve h fonksiyonlarının nitel özelliklerini tespit ediniz. Tablo 1ʼi doldurunuz.
| Fonksiyonun Nitel Özellikleri | f(x) = ax + b | g(x) = |ax + b| + c | h(x) = |ax + b| - c |
|---|---|---|---|
| En Geniş Tanım Kümesi | ℝ | ℝ | ℝ |
| Görüntü Kümesi | ℝ | [c, ∞) | [-c, ∞) |
| Fonksiyonun Sıfırı | -b/a | Yok | x = -b/a ve x = -c/b |
| Fonksiyonun İşareti | (-∞, -b/a): negatif (-b/a, ∞): pozitif | Her yerde pozitif | (-∞, -b/a): negatif (-b/a, ∞): pozitif |
| Maksimum Nokta | Yok | Yok | Yok |
| Minimum Nokta | Yok | (-b/a, c) | (-b/a, -c) |
| Bire Birlik | Bire bir | Bire bir değil | Bire bir değil |
| Artan veya Azalan Olduğu Aralıklar | Artan (-∞, ∞) | (-∞, -b/a): azalan (-b/a, ∞): artan | (-∞, -b/a): azalan (-b/a, ∞): artan |
c) Elde ettiğiniz nitel özelliklerden yararlanarak g ve h mutlak değer fonksiyonlarının parçalı gösterimine dair çıkarımlarınızı açıklayınız.
Elde edilen nitel özelliklere dayanarak g(x) ve h(x) fonksiyonlarının parçalı gösterimleri:
g(x) = |ax+b|+c fonksiyonu:
- x ≤ -b/a için g(x) = -ax-b+c
- x > -b/a için g(x) = ax+b+c
h(x) = |ax+b|-c fonksiyonu:
- x ≤ -b/a için h(x) = -ax-b-c
- x > -b/a için h(x) = ax+b-c
Açıklama:
Mutlak Değer Tanımı: Mutlak değerli ifadeler, içerdiği ifadenin işaretine bağlı olarak farklı şekilde tanımlanır. ax+b ifadesi x = -b/a noktasında işaret değiştirir. Bu nedenle, bu noktaya göre fonksiyon iki farklı tanım aralığına ayrılır.
g(x) Fonksiyonu: ax+b pozitifken |ax+b| = ax+b, negatifken |ax+b| = -(ax+b). Ayrıca +c sabiti her iki duruma eklenir.
h(x) Fonksiyonu: Benzer şekilde ax+b pozitif veya negatif olduğunda mutlak değerin tanımına -c sabiti eklenir.
Bu şekilde, her iki fonksiyonun tanım aralıklarına göre parçalı ifadeleri oluşturulmuştur.
2. a) f, k ve t fonksiyonlarının cebirsel ve grafik gösterimlerini inceleyerek benzerliklerini veya farklılıklarını gözlemleyiniz.
Benzerlikler:
- f(x), k(x) ve t(x) fonksiyonları, doğrusal fonksiyonların mutlak değer ile tanımlanmış halleri olduğundan, tüm grafikler x = -b/a noktasına göre simetriktir.
- Her üç fonksiyonun tanım kümesi tüm gerçek sayılar kümesi (ℝ) ile aynıdır.
Farklılıklar:
- f(x): Doğrusal bir fonksiyondur ve negatif bölgeye sahiptir.
- k(x): Negatif bölgede f fonksiyonunun yansıması alınarak oluşturulmuştur ve yalnızca pozitif değerlere sahiptir.
- t(x): k(x) fonksiyonunun c birim aşağıya ötelenmiş halidir.
9. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 137 Cevapları MEB Yayınları
b) Gözlemlerinizden yola çıkarak f, k ve t fonksiyonlarının nitel özelliklerini tespit ediniz. Tablo 2ʼyi doldurunuz.
| Fonksiyonun Nitel Özellikleri | f(x) = ax + b | k(x) = ±|ax + b| + c | t(x) = ±|ax + b| − c |
|---|---|---|---|
| En Geniş Tanım Kümesi | ℝ | ℝ | ℝ |
| Görüntü Kümesi | ℝ | (-∞, c] | (-∞, -c] |
| Fonksiyonun Sıfırı | x = -b/a | x = -c-b/a | Yok |
| Fonksiyonun İşareti | (-∞, -b/a) negatif, (-b/a, ∞) pozitif | (-b/a, c) maksimum; diğer aralıklar negatif | (-∞, -b/a) azalan; (-b/a, ∞) artan |
| Maksimum Nokta | Yok | c | Yok |
| Minimum Nokta | Yok | Yok | -c |
| Bire Birlik | Bire bir | Bire bir değil | Bire bir değil |
| Artan veya Azalan Olduğu Aralıklar | Artan (R) | (-∞, -b/a) azalan; (-b/a, ∞) artan | (-∞, -b/a) azalan; (-b/a, ∞) artan |
Fonksiyonların parçalı gösterimi, mutlak değerin tanımı gereği pozitif ve negatif bölgelerde farklı davranışlar göstermesiyle açıklanır. Bu nedenle, mutlak değer içeren fonksiyonları parçalı fonksiyon olarak ifade edebiliriz:
-
k(x) fonksiyonu parçalı gösterimi:
- k(x) = ax + b + c, x ≤ -b/a
- k(x) = -ax - b + c, x > -b/a
-
t(x) fonksiyonu parçalı gösterimi:
- t(x) = ax + b - c, x ≤ -b/a
- t(x) = -ax - b - c, x > -b/a
Çıkarımlar:
- Mutlak değer fonksiyonları, tanım gereği mutlak değerli ifadeyi negatif bölgeden pozitif bölgeye geçirir. Bu durum, fonksiyonların kritik noktası olan x = -b/a'de, parçalı bir şekilde ayrışmasını sağlar.
- Parçalı fonksiyon gösterimlerinde, mutlak değer içindeki ifade negatif olduğunda önüne "-" işareti eklenir. Pozitif olduğu durumda ise ifade olduğu gibi yazılır.
- k(x) ve t(x) fonksiyonlarının parçalı gösterimlerinin her biri, belirli bir kritik noktada farklı eğimler ve pozisyonlarla devam eder. Bu durum, grafikte farklı doğrusal segmentler oluşturur.
Bu parçalı ifadeler, mutlak değer fonksiyonlarının grafik çiziminde hem negatif hem pozitif bölgelerin nasıl davrandığını açıkça görselleştirir.
Türkçe karakter kullanılmayan ve büyük harflerle yazılmış yorumlar onaylanmamaktadır.