9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 149-150 Cevapları Meb Yayınları

13. Uygulama

Denklem ve Eşitsizliklerin Çözümünde Kullanılan Stratejiler
Aşağıda verilen problemleri inceleyerek soruları cevaplayınız.
Yağmur suları, iki farklı parkta bulunan A ve B depolarında toplanarak güneşli havalarda çimlerin sulanması amacıyla kullanılmaktadır. A ve B depoları tamamen dolu iken sulama sistemi çalıştırılmış ve depolardaki su tükenene kadar sulamaya devam edilmiştir. Sulama sırasında birim zamanda kullanılan su miktarları sabittir. A ve B depolarında kalan su miktarları (l), zamana (sa.) bağlı olarak sırasıyla uygun aralıklarda tanımlı f ve g fonksiyonları ile ifade edilmiştir.

Problem 1: A ve B depolarında başlangıçta kaç litre su olduğunu ve depolardaki suyun tükendiği zamanı (sa.) bulunuz.

Cevap: Başlangıçta depolardaki su miktarları, verilen fonksiyonların sabit terimleridir.

Başlangıçta Depodaki Su Miktarları:
f(0) = 38,4 - 1,2 × 0 = 38,4 litre
g(0) = 30,4 - 0,8 × 0 = 30,4 litre

Suyun Tükendiği Zaman:
f(x) = 38,4 - 1,2x = 0
38,4 = 1,2x → x = 38,4 ÷ 1,2 = 32 saat
g(x) = 30,4 - 0,8x = 0
30,4 = 0,8x → x = 30,4 ÷ 0,8 = 38 saat

Problem 2: Depolarda kalan su miktarları birbirine eşit olduğunda kalan su miktarını ve eşitlenme zamanını bulunuz.

Cevap: Fonksiyonlar eşitlenir:
f(x) = g(x)
38,4 - 1,2x = 30,4 - 0,8x
8 = 0,4x
x = 20 saat

Kalan su miktarı:
f(x) = 38,4 - 1,2(20) = 38,4 - 24 = 14,4 litre

3. 1. problemi fonksiyonların cebirsel temsillerinden yararlanarak nasıl çözebilirsiniz? Çözüm stratejinizi açıklayarak problemi çözünüz.

Başlangıçtaki su miktarı:

Sonuç: Başlangıçta A deposunda 38,4 litre, B deposunda 30,4 litre su bulunmaktadır.

• f(x) fonksiyonunda başlangıçtaki su miktarını bulmak için x = 0 yerine yazılır:
  f(0) = 38,4 - 1,2 * 0 = 38,4.
• g(x) fonksiyonunda da aynı şekilde:
  g(0) = 30,4 - 0,8 * 0 = 30,4.

Tükendiği zaman:

A deposu için f(x) = 0:
38,4 - 1,2x = 0
1,2x = 38,4
x = 32.
A deposu 32 saatte tükenir.

B deposu için g(x) = 0:
30,4 - 0,8x = 0
0,8x = 30,4
x = 38.
B deposu 38 saatte tükenir.

Sonuç:
A deposu 32 saatte, B deposu 38 saatte tamamen tükenir. Cebirsel olarak fonksiyonların tükenme zamanı bu şekilde bulunur.

4. Matematik yazılımı yardımıyla f ve g fonksiyonlarına ait grafiklerin eksenleri kestiği noktaları bulunuz:

• a) Kesiştir aracını seçip sırasıyla f doğrusunu ve x eksenini işaretleyiniz.
• b) Kesiştir aracını seçip sırasıyla g doğrusunu ve x eksenini işaretleyiniz.
• c) Kesiştir aracını seçip sırasıyla f ve g doğrularını işaretleyiniz.

5. f ve g fonksiyonlarına ait grafiklerin eksenleri kestiği noktalardan yararlanarak 1. problemi nasıl çözebilirsiniz? Çözüm stratejinizi açıklayarak problemi çözünüz.

6. 1. problemin çözümünde kullandığınız yöntemleri karşılaştırarak çözümlerinizi doğrulayınız.

7. 1. problemin çözümünde kullandığınız yöntemleri doğrusal fonksiyon içeren farklı problem durumları için nasıl kullanabilirsiniz? Genellemelerinizi oluşturunuz.

Fonksiyon f(x) = 50 - 3x gibi doğrusal bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun başlangıçta y eksenini kestiği değer, yani 50 başlangıç miktarını gösterir.
Her saat başına 3 birim azalır. Bu şekilde tükenme zamanı 50 / 3 = 16,67 saat olarak hesaplanır.
Bu yaklaşım tüm doğrusal fonksiyonlar için uygulanabilir.

8. Oluşturduğunuz genellemeyi sözel, cebirsel ve grafiksel olarak doğrulayınız.

9. 2. problemin fonksiyonların cebirsel temsillerinden yararlanarak nasıl çözebilirsiniz? Çözüm stratejinizi açıklayarak problemi çözünüz.

Çözüm:
Verilen iki fonksiyon:
f(x) = 38,4 - 1,2x
g(x) = 30,4 - 0,8x

Bu fonksiyonların eşit olduğu zaman:
38,4 - 1,2x = 30,4 - 0,8x
8 = 0,4x
x = 8 / 0,4 = 20 saat.

Sonuç: 20 saat sonra iki deponun su miktarları eşit olur.

10. Matematik yazılımı yardımıyla f ve g fonksiyonlarına ait grafiklerin kesim noktasını aşağıdaki adımları izleyerek bulunuz:

• a) Kesiştir aracını seçiniz.
• b) Sırasıyla f ve g doğrularını işaretleyiniz.

11. f ve g fonksiyonlarına ait grafiklerin kesim noktasından yararlanarak 2. problemi nasıl çözebilirsiniz? Çözüm stratejinizi açıklayarak problemi çözünüz.

12. 2. problemin çözümünde kullandığınız yöntemleri karşılaştırarak çözümlerinizi doğrulayınız.

13. 2. problemin çözümünde kullandığınız yöntemleri doğrusal fonksiyon içeren farklı problem durumları için nasıl kullanabilirsiniz? Genellemelerinizi oluşturunuz.

Genelleme: İki doğrusal fonksiyon verildiğinde, bu fonksiyonların kesişim noktasını bulmak için eşitlik kurulabilir.
Örnek:
f(x) = 3x + 40
g(x) = -2x + 100

Bu iki fonksiyonu eşitleriz:
3x + 40 = -2x + 100
5x = 60
x = 12

Sonuç: x = 12, iki fonksiyonun kesişim noktasıdır. Bu yöntem tüm doğrusal fonksiyonlar için uygulanabilir.

14. Oluşturduğunuz genellemeyi sözel, cebirsel ve grafiksel olarak değerlendiriniz.

Doğrusal iki fonksiyonun kesişim noktası, iki durumun birbirine eşit olduğu anı ifade eder. Y eksenini kestiği değer başlangıcı, x ekseni üzerindeki kesişim noktası ise eşitlik zamanını belirtir.

Cebirsel: İki fonksiyon eşitlenerek çözüm yapılır. Örnek:
3x + 40 = -2x + 100
5x = 60, x = 12.

Grafiksel: Grafikte, f(x) ve g(x) fonksiyonları kesiştiği nokta, iki durumun eşit olduğu zaman ve değer bilgisini verir.