9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 74-75 Cevapları Meb Yayınları

9. Sınıf Matematik 1. Kitap (MEB Yayınları) Sayfa 74 – 16. Sıra Sizde Cevapları

Soru: “Her çift tam sayının karesi çift tam sayıdır.” önermesi veriliyor.

a) Önermeyi matematiksel sembolle ifade ediniz.
b) Önermenin cebirsel ispatını yapınız.

Cevap:

a) ∀x ∈ ℤ, x çift sayı ⇒ x² çift sayıdır.

b)
Hipotez: x çift tam sayıdır.
Hüküm: x² çift tam sayıdır.

İspat:
Bir sayı çift ise x = 2a biçiminde yazılabilir (a ∈ ℤ).
Bu sayının karesi alınırsa:

x² = (2a)²
x² = 4a² olur.

4a² sayısı 2·(2a²) biçiminde yazılabildiği için çift sayıdır.

Dolayısıyla,
∀a ∈ ℤ için x² = 4a² çift sayıdır.

Kısa Sonuç: Bir çift sayının karesi yine çift sayıdır çünkü çarpanlarından biri mutlaka 2’dir.

24. Uygulama – İki Gerçek Sayının Farklı Gösterimleri ve Cebirsel Eşitlik

Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları a ve b cm’dir.
Dikdörtgenin dört köşesinden kenar uzunluğu k olan kareler çıkarılmıştır.

1. Soru

a) Dikdörtgenin kesilmeden önceki çevre uzunluğunu a ve b değerlerine bağlı olarak yazınız.
Cevap: Çevre formülü: Ç₁ = 2(a + b)

b) Dikdörtgen kesildikten sonra oluşan şeklin çevre uzunluğunu a, b ve k değerlerine bağlı olarak yazınız.
Cevap: Her köşeden k uzunluğunda kare kesildiğinde, dikdörtgenin yeni çevresi:
Ç₂ = 2(a + b − 4k) + 8k = 2a + 2b

c) Bulduğunuz cebirsel ifadelerin birbirine eşit olup olmadığını belirleyiniz.
Cevap: Evet, Ç₁ = Ç₂ olduğundan çevre uzunlukları birbirine eşittir.

2. Soru

a) a, b ve k değişkenlerine k < b < a olacak şekilde pozitif gerçek sayılar veriniz.
Cevap: Örneğin: a = 12, b = 8, k = 2

b) Dikdörtgenin kesilmeden önceki çevre uzunluğu ile kesildikten sonraki çevre uzunluğunu hesaplayınız.

Kesilmeden önce: Ç₁ = 2(a + b) = 2(12 + 8) = 40 cm

Kesildikten sonra: Ç₂ = 2(a + b − 4k) + 8k = 2(20 − 8) + 16 = 40 cm

c) Bulduğunuz çevre uzunluklarının birbirine eşit olup olmadığını belirleyiniz.
Cevap: Evet, her iki çevre uzunluğu da 40 cm’dir.
Bu nedenle dikdörtgenin çevresi kesilmeden önce de, kesildikten sonra da değişmez.