9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Sayfa 114-115-116 Cevapları Meb Yayınları

3. Uygulama Kütlesi Farklı Parayı Bulma Problemi Çözümü

Bu problemde, n adet aynı büyüklükteki para arasından kütlesi farklı olanı en az kaç tartımda kesin olarak bulabileceğimizi belirlemeye çalışıyoruz.

1. Varsayım Geliştirme

• Eşit kollu terazi kullanarak tartım işlemi yapıyoruz.
• n adet para içinde yalnızca 1 tanesi kütlesi farklıdır.
• En az tartım sayısını belirlemek için paraları üçlü gruplara bölerek ilerlemek en verimli yoldur.

Genel formül: 3^m ≥ n

Burada m, en az tartım sayısını ifade eder.

2. En Az Tartım Sayısını İçeren Tablo

En Az Tartım Sayısı Tablosu

Bu tablo, n tane para içinden kütlesi farklı olanı en az kaç tartımda kesin olarak bulabileceğimizi gösterir.
Tartım sayısı, log₃(n) değeri yukarı yuvarlanarak hesaplanmıştır.

3. Varsayımların Karşılaştırılması

İki farklı yaklaşım olabilir:

1. Eğer n, 2’nin kuvveti şeklinde ifade edilebiliyorsa:
   • 2^k = n ise en az tartım sayısı k olur.
2. Eğer n, 3’ün kuvveti şeklinde ifade edilebiliyorsa:
   • 3^m = n ise en az tartım sayısı m olur.

Sonuç olarak, en verimli yöntem 3’ün kuvvetleri kullanılarak yapılan tartımlardır.

4. Algoritmanın İşleyişi (Algoritmik Doğal Dil)

Algoritma Adımları:

1. Başla
2. Kullanıcıdan n tane para al, bu paralardan 1 tanesi farklı ağırlıkta olacak.
3. n değerine uygun minimum m değerini bul:
   • Eğer 3^m ≥ n koşulu sağlanıyorsa, m en az tartım sayısıdır.
4. Ekrana "En az tartım sayısı m olur" mesajını yazdır.
5. Bitir.

5. Farklı n Değerleri İçin Algoritmanın Uygulanması

Örnek: n = 72 için

• 3⁴ = 81 ≥ 72 olduğu için
• m = 4 sonucuna ulaşılır.
• Yani en az 4 tartım ile kütlesi farklı para kesin olarak bulunabilir.

6. Elde ettiğiniz algoritmanın kullanışlılığı, kütlesi farklı olan paranın hafif ya da ağır olmasından etkilenir mi? Açıklayınız.

Hayır, algoritma kütlesi farklı olan paranın hafif ya da ağır olmasından bağımsız olarak çalışır.
Eşit kollu terazi kullanıldığında, farklı kütleye sahip para hangi gruptaysa, terazinin dengesindeki değişim gözlenerek belirlenebilir.
Bu yüzden algoritmanın doğruluğu, paranın hafif veya ağır olmasına bağlı değildir.

7. Algoritmanın performansını artırmak için hangi stratejileri önerirsiniz? Alternatif algoritma yaklaşımları neler olabilir? Açıklayınız.

Performansı Artırma Stratejileri:

Daha büyük gruplara bölerek işlem sürecini hızlandırmak

• 3’lü gruplama yerine 5’li veya 7’li gruplamalar denenerek tartım sayısı azaltılabilir.

Önceki tartımlardan elde edilen verileri kullanmak

• Önceki tartımların sonuçları analiz edilerek daha az adımda sonuca ulaşılabilir.

Dijital tartım kullanımı

• Eşit kollu terazi yerine doğrudan ağırlık ölçen dijital teraziler kullanılırsa hata payı sıfıra iner.

İstatistiksel ve makine öğrenmesi destekli analizler

• Yapay zeka ile hatalı paranın ağırlık tahmini önceden yapılarak daha az tartımla sonuca ulaşılabilir.

8. 1024 adet vidadan 1 hatalı (hafif ya da ağır) olanı tespit etmek için en az kaç tartım yapılmalıdır?

İkili Bölme (Binary Search) Yaklaşımı:

Eğer her tartımda ikiye bölersek, 2^m ≥ 1024 koşulunu sağlayan en küçük m değerini bulmamız gerekir.

• 2¹⁰ = 1024 olduğundan, 10 tartım gereklidir.

Üçlü Gruplama Yöntemi (Terazi Kullanımı):

• Eşit kollu terazi kullanıldığında, her tartımda 3 gruba ayrılabilir.
• 3^m ≥ 1024 koşulunu sağlayan en küçük m değeri bulunur.
• 3⁷ = 2187 ≥ 1024 olduğundan, en az 7 tartım gereklidir.

Sonuç:

• Eğer ikili bölme yöntemi kullanılırsa 10 tartım,
• Eğer üçlü terazi yöntemi kullanılırsa 7 tartım yeterlidir.

En verimli yöntem üçlü gruplama yöntemi olduğu için en az 7 tartım gereklidir.

9. 2187 adet kapsülden biri hatalıysa, bunu en az kaç tartımda tespit edebiliriz?

Bu soruyu üçlü gruplama yöntemi (terazi kullanımı) ile çözüyoruz.

• Eşit kollu terazi ile her tartımda kapsülleri 3 gruba ayırabiliriz.
• 3^m ≥ 2187 koşulunu sağlayan en küçük m değerini bulmalıyız.

Hesaplama: 3⁷=2187

Bu durumda m = 7 olur.

Sonuç: 2187 kapsül içerisindeki 1 hatalı kapsülü en az 7 tartım ile kesin olarak bulabiliriz.

4. Uygulama Toplam Tokalaşma Sayısının İşlem Adımlarıyla Hesaplanması

Bu problemde, n kişilik bir grupta herkes diğerleriyle bir kez tokalaşırsa toplam kaç tokalaşma olur sorusunu adım adım çözüyoruz.

1. Cebirsel Temsil

Toplam tokalaşma sayısını hesaplamak için kullanılan formül:

T=n(n−1) / 2

Bu formül, n kişi arasındaki tüm farklı ikili tokalaşma kombinasyonlarını hesaplamak için kullanılır.

2. İşlem Adımları (Örnek: 8 Kişi İçin)

1. Başla
2. Kullanıcıdan kişi sayısını (n) al
   • Örneğin, n = 8
3. Formülü uygula:
   • T = (8 × 7) ÷ 2
   • T = 56 ÷ 2
   • T = 28
4. Sonucu ekrana yazdır:
   • "Toplam 28 tokalaşma gerçekleşir."
5. Bitir.

Bu işlem adımları ile herhangi bir n kişi için toplam tokalaşma sayısını hızlı bir şekilde hesaplayabiliriz.

3. Algoritmanın İşleyişi ve Kodlanması

Aşağıda toplam tokalaşma sayısını bulan algoritmanın algoritmik doğal dili, akış şeması ve sözde kodu verilmiştir.

Algoritmik Doğal Dil ile Tokalaşma Sayısını Bulan Algoritma

1. Başla
2. Kullanıcıdan kişi sayısını (n) al
3. Tokalaşma sayısını hesapla:
   • T = (n × (n-1)) ÷ 2
4. Sonucu ekrana yazdır:
   • "Tokalaşma sayısı T olur."
5. Bitir

Sözde Kod (Pseudocode)

Başla Girdi: n (kişi sayısı)
Eğer n < 2 ise: Yazdır "Tokalaşma yok."
Değilse: T = (n * (n-1)) / 2 Yazdır "Toplam", T, "tokalaşma gerçekleşir." Bitir

Akış Şeması İçin Adımlar

1. Başlangıç (Oval şekil)
2. n değerini al (Paralel kenar - giriş işlemi)
3. Şart kontrolü (n < 2) (Dikdörtgen - işlem)
   • Eğer n < 2 ise "Tokalaşma yok" yazdır
   • Eğer n ≥ 2 ise T = (n × (n-1)) ÷ 2 işlemini yap
4. Sonucu ekrana yazdır (Paralel kenar - çıkış işlemi)
5. Bitir (Oval şekil)

4. 5, 6 ve 7 Kişilik Gruplar İçin Tokalaşma Sayısı Hesaplaması

5, 6 ve 7 Kişilik Gruplar İçin Tokalaşma Sayısı Hesaplaması

Formül:
T = (n × (n-1)) ÷ 2

Hesaplamalar:

• 5 kişi için:
  T = (5 × 4) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10

• 6 kişi için:
  T = (6 × 5) ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15

• 7 kişi için:
  T = (7 × 6) ÷ 2 = 42 ÷ 2 = 21

Sonuçlar:

Bu hesaplamalar, formüle uygun olup doğru sonuçları vermektedir.

5. Kişi Sayısı Arttığında Algoritmanın Performansı

• Tokalaşma sayısını hesaplamak için T = (n × (n-1)) ÷ 2 formülü kullanılır.
• n büyüdükçe tokalaşma sayısı katlanarak artar.
• Kişi sayısı iki katına çıkarsa, tokalaşma sayısı yaklaşık dört katına çıkar.
• Hesaplama süresi O(1) yani sabit zaman karmaşıklığına sahiptir, çünkü sadece bir çarpma ve bölme işlemi yapılır.

Güncellenmiş Algoritma

1. Başla
2. Kullanıcıdan kişi sayısını (n) al
3. Eğer n < 2 ise:
   • Tokalaşma yok, sonuç 0
4. Eğer n ≥ 2 ise:
   • T = (n × (n-1)) ÷ 2 formülünü uygula
5. Sonucu ekrana yazdır:
   • "Toplam T tokalaşma gerçekleşir."
6. Bitir

Bu algoritma, n ne kadar büyük olursa olsun hızlı bir şekilde sonucu hesaplar.

6. Algoritmanın Doğru Yanıt Verip Vermediğini Kontrol Etme

• 4. adımda olduğu görülmüştür.

7. Tablo, Şema ve Diğer Yöntemlerin Avantajları

8. En Etkili ve Sistematik Yöntem

Matematiksel formül en hızlı ve doğru sonucu veren yöntemdir.
Tablo ve akış şeması ise anlaşılabilirliği artırır.
Kod ve algoritmik doğal dil ise uygulamaya dökme açısından faydalıdır.